高中数学：异面直线的距离的六种求法 -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

高中数学：异面直线的距离的六种求法

已知正方体abcd-a₁b₁c₁d₁的棱长为1，求异面直线a₁d与ac的距离。

1.方法一

一、直接利用定义求解

如图1，取ad中点m，连md₁、mb分别交a₁d、ac于e、f，连bd₁，由平面几何知识，易证me=1/3md₁,mf=1/3mb,md₁=mb,则bd₁//ef。

由，得⊥平面，则，同理ac⊥，所以，ef⊥，ef⊥ac，即ef为异面直线与ac的距离，故有ef=。

此法的关键是作出异面直线的公垂线段。

2.方法二 

二、转化为线面距离求解

如图2，连、，则ac∥平面。设ac、bd交于o，、交于，连，作oe⊥于e，由⊥平面知，故oe⊥平面。

所以oe为异面直线与ac的距离。

在△中，，则

。

所以异面直线与ac的距离为。

此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。

3方法三

三、转化为面面距离求解

如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与ac的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面

三等分，又。

所以异面直线与ac的距离为。

此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。

4. 方法四

四、构造函数求解

如图4，在上任取一点e，作em⊥ad于m，再作mf⊥ac于f，连ef，则∠emf=。

设md=，则me=，am，在中，∠fam=，则

所以

_，

当且仅当时，ef取最小值。

所以异面直线与ac的距离为。

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。

5. 方法五

五、利用体积变换求解

如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与ac的距离为，则d到平面的距离也为。

易知

_，

_。

由，

得。

所以，则。

所以异面直线与ac的距离为。

此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。

6

 方法六

六、利用向量求解

如图6，ab为异面直线、的公垂线段，为直线ab的方向向量，e、f分别为直线、上的任意一点，则。

证明：显然=，，。

所以，

所以，

所以，

即，

所以。

把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。

建立如图7所示的空间直角坐标系，易知

_，

_{=（-1，1，0），}

（-1，0，0）。

设异面直线

_{、ac的公垂线的方向向量为}

_，由，，得

解得

故可取

_。

所以异面直线

_{与ac的距离为}。

此法是利用公式求解，具有不必作出公垂线段的特点，合理、恰当地建立空间直角坐标系，常能使问题变得简单易解。