八种方法解一道二元无理式的最小值 -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

八种方法解一道的

题目：已知x>0,y>0,2x y=2 ,求x √(x2 y2)的最小值。

解法1：代入消元 判别式法求最小值

由x>0,y>0, 2x y=2，得y=2-2x，则

解法3  待定系数法助力求最小值

解法4  三角换元 待定系数法 柯西

解法5：复合函数求导法求最小值    

解法6  数形结合法    用角平分线的性质构造对称图形  

如图，在平面直角坐标系, 设a (1, 0), b (0, 2), 

p (x, y)是线段ab上的动点,设直线ob关于直线ab的对称线为直线bc,

由tan∠oba=1/2, 

知tan∠obc=tan2∠oba=4/3,

得c (8/3, 0), 知直线bc: 3x 4y-8=0,

设p在ob,bc上的垂足分别为d, e,

o在bc上的垂足为h,

则原式=|pd| |op|=|op| |pe|

≥|oh|=8/√(32 42)=8/5,

当o, p, h三点共线时, 等号成立,

故x √(x2 y2)的最小值为8/5。 

解法7  用将军饮马问题的方法求最小值  

如图，在平面直角坐标系, 设a (1, 0), b (0, 2), p (x,y)是线段ab上的动点（a,b两点除外）,满足2x y=2，则x √(x2 y2)=pm po.

作点o关于直线ab的对称点c，可求得点c的坐标为（8/5,4/5）,过点c作y轴的垂线，垂足为d,交ab于点e，则po=pc,eo=ec.

pm po=pm pc≥cd=8/5,

当点p与点e重合时，等号成立。

故所求式子的最小值为8/5.

解法8   用物理性质求解 

如图，在平面直角坐标系, 设a (1, 0), b (0, 2), p (x,y)是线段ab上的动点（a,b两点除外）,满足2x y=2，过点p作y轴的垂线，垂足为m,

则x √(x2 y2)=pm po.

根据光在同一媒介里沿最短路径传播这一性质可知，从点o发出的光线射到直线ab发生反射后平行于x轴，这样的光线是存在的，且是唯一的。设平行于 x轴的反射光线与y轴相交于点m，由入射角等于反射角知，

∠1=∠2，又由mp//ob,得∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以op=ob=1,即x2 y2=1，

又x 2y=2,联立解得x=3/5,

所以pm po=3/5 1=8/5.

故所求式子的最小值为8/5.

改编题1：已知x>0,y>0,x y/3=1 ,

求x √(x2 y2)的最小值。

改编题2：已知x>0,y>0,x/2 y/3=1 ,

求x √(x2 y2)的最小值。

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