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初中数学圆五个重要考点 -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

英才学习2年前 (2021-12-02)初中数学330
知识点一：圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。现在课本中主要介绍的为圆心角、弦和弧三者之间的关系，其实弦心距也是相等的，可以通过全等三角形进行证明。
我们可将之进行推广，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例题1：如图，⊙o中，弦ab与cd相交于点e，ab=cd，连接ad、bc．求证：ae=ce．

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解法一：由ab=cd知弧ab＝弧cd，同时减去弧ac得到弧ad=弧bc，同圆中同弧所对的弦相等得ad=bc，结合∠ade=∠cbe，∠a=∠c通过“asa”可证△ade≌△cbe，从而得出答案．
解法二：根据我们上一篇讲的连接法构造全等三角形，可连接线段ac或bd，证明△abc≌△cda（sss），得∠bac=∠acd，根据等角对等边得ae=ce．

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本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等

知识点二：圆心角与圆周角的关系
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角为直角，90°圆周角所对的弦为直径。
例题2：如图，ab是⊙o的直径，d是弧bc的中点，弦dh⊥ab于点e，交弦bc于点f，ad交bc于点g，连接bd，求证：f是bg的中点．

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分析：通过垂径定理、弧与圆心角、圆周角的关系证明∠cbd=∠hdb，通过等角对等边得到fb=fd，再证明∠fdg=∠fgd，得到fd=fg即可解决问题．

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因此，圆周角与同弧所对的圆心角相关，那么与之对应的弦、弦心距也可以得到对应关系。
知识点三：垂径定理及其推论
垂径定理及其推论是本章的重点，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。当然，垂径定理的推论不仅仅只有这一个，知识点一种的弦、弧、圆心角三者之间为“知一推二”，而在垂径定理中为“知二推三”。其它推论课本中没有明确给出，我们在解题时可通过全等进行证明。
例题3：⊙o中，直径ab和弦cd相交于点e，已知ae=1cm，eb=5cm，且∠deb=60°，求cd的长．

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分析：作op⊥cd于p，连接od，根据正弦的定义求出op，根据勾股定理求出pd，根据垂径定理计算。

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垂径定理是本章的重点，也是考试的重点，需要熟练掌握。
知识点四：点与圆、直线与圆的位置关系及其相关数量关系
点与圆的位置关系有：在圆外、在圆上、在圆内，比较点到圆心的距离与半径的大小关系；直线与圆的位置关系有：相离、相切、相交，比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。证明切线常用的思路有：（1）作半径，证垂直；（2）作垂直，证半径，遇到切线时常用的辅助线为：连接圆心与切点，构造直角三角形。
例题4：如图，ab是⊙o的直径，点c、d在⊙o上，弧cd=弧bd，过点d作ef⊥ac，垂足为e，交ab的延长线于点f．求证：直线ef是⊙o的切线

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分析：根据题目的特点，选择“作半径，证垂直”。连接ad，od，由cd=bd，得∠dab=∠dac，根据等腰三角形的性质得到∠dao=∠oda，等量代换得到∠dac=∠oda，推出ae∥od，于是得到结论。

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直线与圆的位置关系也是本章的重点，特别是切线的性质定理和判定定理。
知识点五：正多边形、弧长公式、扇形的面积公式
熟悉正多边形的有关概念，如半径、边心距、中心角等，熟悉弧长公式，扇形的面积公式等，会熟练的计算。
例题5：如图，a，p，b，c是⊙o上的四个点，∠apc=∠cpb=60°．（1）求证：△abc是等边三角形．（2）若⊙o的半径为2，求等边△abc的边心距．

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分析：（1）利用圆周角定理可得∠bac=∠cpb，∠abc=∠apc，而∠apc=∠cpb=60°，所以∠bac=∠abc=60°，从而可判断△abc的形状；（2）过o作od⊥bc于d，连接ob，根据直角三角形的性质即可得到结论．

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