初中数学：中考勾股定理面积问题 -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

初中数学：中考勾股定理

类型一　三角形中利用面积法求高

1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，斜边上的高线的长为( d )

a.80/13cm   b．13cm   c.13/12cm   d.60/13cm

2．点a、b、c在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点c到线段ab所在直线的距离是________

解：如图，连接ac，bc，设点c到线段ab所在直线的距离是h.

∵s△abc＝3×3－1/2×2×1－1/2×2×1－1/2×3×3－1＝9－1－1－9/2－1＝3/2，

ab＝

∴h＝

类型二　结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知rt△abc中，∠c＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则rt△abc的面积是( d )

a．48cm²   b．24cm²   c．16cm²   d．11cm²

4.若一个直角三角形的面积为6cm²，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( d )

a．7cm    b．10cm  c．(5＋∨37)cm   d．12cm

5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)²＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( c )

a．3  b．4  c．5  d．6

类型三　巧妙利用割补法求面积

6．如图，已知ab＝5，bc＝12，cd＝13，da＝10，ab⊥bc，求四边形abcd的面积．

解：连接ac，过点c作ce⊥ad交ad于点e.

∵ab⊥bc，∴∠cba＝90°.

在rt△abc中，由勾股定理得

ac＝

∵cd＝13，∴ac＝cd.∵ce⊥ad，

∴ae＝1/2ad＝1/2×10＝5.

在rt△ace中，由勾股定理得

ce＝

∴s四边形abcd＝s△abc＋s△cad＝1/2ab·bc＋1/2ad·ce

＝1/2×5×12＋1/2×10×12＝90.

7．如图，∠b＝∠d＝90°，∠a＝，ab＝4，cd＝2，求四边形abcd的面积．

 解：延长ad，bc交于点e.

∵∠b＝90°，∠a＝60°，∴∠e＝.

∴ae＝2ab＝8.在rt△abe中，由勾股定理得

be＝

∵∠adc＝90°，∴∠cde＝90°，

∴ce＝2cd＝4.在rt△cde中，

由勾股定理得de＝＝＝2.

∴s四边形abcd＝s△abe－s△cde＝1/2ab·be－1/2cd·de

＝×4×4－1/21×2×2＝6.

类型四　利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积

8.在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．

如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠bac＝90°，ab＝3，ac＝4，则d，e，f，g，h，i都在长方形klmj的边上，那么长方形klmj的面积为_____．

解析：如图，延长ab交kf于点o，延长ac交gm于点p，

易证四边形aolp是矩形，ok＝be＝3.

∵∠cbf＝90°，

∴∠abc＋∠obf＝90°.

又∵∠abc＋∠acb＝90°，

∴∠obf＝∠acb.

在△acb和△obf中，

∴△acb≌△obf(aas)．

同理：△acb≌△pgc≌△lfg≌△obf，

∴ko＝of＝lg＝3，fl＝pg＝pm＝4，

∴kl＝3＋3＋4＝10，lm＝3＋4＋4＝11，

∴s矩形klmj＝kl·ml＝10×11＝110.

打赏 支付宝打赏 微信打赏