初中几何：有关弦切角及切割线定理 -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

1.弦切角： 如图1，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角，叫弦切角。

2.弦切角定理：弦切角，等于它所夹的弧ab所对的。

如图2，∠bac为弦切角，弧ab为其所夹的弧，则有：∠bac=∠bda=∠bea。

简证：

∠bac ∠bad=90°------①

∠bda ∠bad=90°------②

①-②得：∠bac=∠bda。

若图中出现的是∠aeb这种情况呢？

则构造以直径为斜边、弦为一直角边的直角三角形来证明，然后利用圆周角定理说明相等即可。

性质推论①：弦切角，等于它所夹的弧ab所对的的一半。

性质推论②：两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角相等。

【提炼升华】在圆中，如果出现了和经过切点的割线，则必存在弦切角。

3.切割线定理：从圆外一点，引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。

如图3：pa与圆相切，pc与圆相交于b、c两点，则有：pb:pa=pa:pc。变型得：pa²=pb×pc。

简证：如图4，连接ab、ac，则根据弦切角定理，易证△apb∽△cpa，从而易得pb:pa=pa:pc。

切割线定理的推论：从圆外一点，引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图5，pb交圆o于a、b两点，pd交圆o于c、d两点，则有：pa×pb=pc×pd。

【补充】若担心直接用弦切角定理老师不给分，则可以简单证明∠bap=∠bca，证法如下：

如图6，连接oa，作oe⊥ab于e，根据圆周角定理和垂径定理，易得∠eoa=∠acb；

根据切线的性质和直角△角度的互余关系，易得∠bap=∠eoa。故∠bap=∠acp。

打赏 支付宝打赏 微信打赏