初中几何：有关圆的基本知识（基本性质和位置关系） -金鲨银鲨飞禽走兽街机版

初中几何：有关圆的基本知识

一、圆的基本性质

（一）性质 

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心

（二）垂径定理及其推论 

1. 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

2. 推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 

在同圆或者等圆中， 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3. 垂径定理与推论的延伸：

（三）弦、弧、的关系 

1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2. 推论：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等。

弧的度数等于它所对圆心角的度数。

（四）定理及其推论

1. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

2. 推论

或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦是直径。

（五） 圆与多边形 

1. 圆内接多边形

(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆

(2)圆内接四边形的对角互补,即∠b ∠d= 180°

(3)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠dce= ∠a

2. 正多边形和圆

（六）三角形的外接圆 

定义：经过三角形三个顶点的圆，示意图：

圆心o：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的垂直平分线的交点)(尺规常用)

性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

角度关系:∠boc=2∠a

二、与圆有关的位置关系
（一）点与圆的位置关系 

（设圆的半径为 ｒ，平面内任 一点到圆心的距离为 ｄ）

点在圆外ｄ＞ｒ，如右图中点 ａ 

点在圆上ｄ＝ｒ，如右图中点 ｂ 

点在圆内ｄ＜ｒ，如右图中点 ｃ

（二）直线与圆的位置关系 

（设圆的半径为ｒ，圆 心到直线的距离为ｄ）

（三） 的性质 

数量关系：圆心到切线的距离等于半径 

位置关系：切线垂直于过切点的半径

（四）切线的判定 

直线与圆有公共点，连半径，证垂直

直线与圆无公共点，作垂线，证半径

（五）切线长定理 

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

如图，过⊙ｏ外一点ｐ可引两条切线pa、pb，则pa＝pb，po平分∠apb

（六）三角形的内切圆 

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